Formality of special complex manifolds: deformations and cohomological properties

Abstract

In questo lavoro di tesi, sono stati studiati vari aspetti (sia in astratto che su esempi concreti) legati alle strutture coomologiche e metriche di varietà compatte complesse non Kähler e le loro proprietà di stabilità sotto l’azione di deformazioni della struttura complessa, flussi geometrici e blowup. In particolare, si sono studiate condizioni coomologiche di stabilità per curve di metriche SKT, astheno-Kähler e bilanciate, l’esistenza di strutture p-Kähler e bilanciate sulle varietà di Rollenske-Bigalke, la proprietà di non chiusura sotto deformazioni delle nozioni di formalità di Dolbeault e di Bott-Chern e l’esistenza di una varietà che soddisfi il ddc-lemma ma con prodotti BC-Massey non nulli, la stabilità delle nozioni di formalità geometrica di Kotschick, di Dolbeault e di Bott-Chern sotto l’azione del flusso di Chern-Ricci sulle superfici della classe VII della classificazione di Enriques-Kodaira e infine la non stabilità dell’esistenza di metriche astheno-Kähler sotto l’azione di blowup e la relazione tra metriche SKT e metriche geometricamente Bott-Chern formali su speciali nilmanifold con struttura complessa invariante nilpotente.

In this thesis work, various aspects (both in abstract and on concrete examples) related to the cohomological and metric structures on compact complex non Kahler manifolds and their stability properties under the action of deformations of the complex structure, geometric flows, and blowups. In particular, we studied cohomological conditions for stability of curves of SKT, astheno-Kähler, and balanced metrics, the existence of p-Kähler and balanced structures on the Rollenske-Bigalke manifolds, the non closedness property of Dolbeault and Bott-Chern formalities and the existence of a ddc manifold admitting non vanishing BC-Massey products, the stability of the notions of Kotschick, Dolbeault, and Bott-Chern geometric formality under the action of the Chern-Ricci flow on the class VII surfaces of the Enriques-Kodaira classification, and the non stability property of the existence of astheno-Kähler metrics under the action of complex blowup and the interplay between SKT and geometrically Bott-Chern formal metrics on special nilmanifolds endowed with nilpotent invariant complex structure.